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一类含绝对值函数的探究
一类含绝对值函数的探究作者/许飘勇
在讲解不等式选讲时，有道填空题要求解函数y=2|x-1|+|x-2|+|4x-3|的单调区间和值域，若用零点分区间法求出分段函数的表达式，再用图象，得出单调区间和值域，虽然思路简单，但耗时费力，准确率低。笔者思考能不能根据参数就可画出函数草图，数形结合就易得答案。
对于可化为形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1<a2<…<an且k1k2…kn≠0）的函数
当k1+k2+…+kn>0时，
若x∈（∞，a1],则f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）
所以函数在（∞，a1]单调递减。
若x∈[an,+∞），则f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）
所以函数在[an,+∞）单调递增。
若x∈[ai,ai+1]（i=1,2…n-1）
当f（ai）<f（ai+1）时，函数在[ai,ai+1]单调递增；
当f（ai）>f（ai+1）时，函数在[ai,ai+1]单调递减；
当f（ai）=f（ai+1）时，函数在[ai,ai+1]的图象是（ai,f（ai）），（ai+1,
f（ai+1））为端点的水平线段。
若记M=min{f（a1），f（a2）…f（an）},(www.fwsir.com)则此时值域为[M,+∞）。
当k1+k2+…+kn<0时，
若x∈（-∞，a1],则f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=
-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）
所以图象在（-∞，a1]单调递增。
若x∈[an,+∞），则f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）
所以图象在[an,+∞）单调递减。
若x∈[ai,ai+1]（i=1,2…n-1）
当f（ai,）<f（ai+1）时，在[ai,ai+1]单调递增；
当f（ai,）>f（ai+1）时，在[ai,ai+1]单调递减；
当f（ai,）=f（ai+1）时，在[ai,ai+1]图象是（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））为端点的水平线段。
若记N=max{f（a1），f（a2）…f（an）},则此时值域为（-∞，N]
当k1+k2+…+kn=0时，
若x∈（-∞，a1],则f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）=（k1a1+k2a2+…+knan）
所以图象在（-∞，a1]是以（a1,f（a1））为端点方向向左的水平射线。
若x∈[an,+∞），则f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）=-（k1a1+k2a2+…+knan）
所以图象在[an,+∞）是以（an,f（an））为端点方向向右的水平射线。
若x∈[ai,ai+1]（i=1,2…n-1）
当f（ai）<f（ai+1）时，在[ai,ai+1]单调递增；
当f（ai）>f（ai+1）时，在[ai,ai+1]单调递减
当f（ai）=f（ai+1）时，在[ai,ai+1]图象是（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））为端点的水平线段。
若记M=min{f（a1），f（a2）…f（an）},N=max{f（a1），f（a2）…f（an）},则值域为[M,N].
总之，形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1<a2<…<an且k1k2…kn≠0）的函数。
1.定义域x∈（-∞，+∞）。
2.图象、单调性、值域。整个图象是连续不断的折线。
当k1+k2+…+kn>0时，图象为W型。在（-∞，a1]单调递减，在[an,+∞）单调递增，中间是以（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））（i=1,2…n-1）为端点的线段连接而成的连续不断的折线。若记M=min{f（a1），f（a2）…
f（an）},则值域为[M,+∞）。
当k1+k2+…+kn<0时，图象为M型，在（-∞，a1]单调递增，在[an,+∞）单调递减，中间是以（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））（i=1,2…n-1）为端点的线段连接而成的连续不断的折线。若记N=max{f（a1），f（a2）…
f（an）},则值域为（-∞，N].
当k1+k2+…+kn=0时，图象为Z型，在（-∞，a1]是以（a1,f（a1））为端点方向向左的水平射线，在[an,+∞）是以（an,f（an））为端点方向向右的水平射线，中间是以（ai,f（ai）），（ai+1,f（ai+1））（i=1,2…n-1）为端点的线段连接而成的连续不断的折线。若记M=min{f（a1），f（a2）…
f（an）},N=max{f（a1），f（a2）…f（an）},则值域为[M,N].
所以y=2|x-1|+|x-2|-|4x-12|可化为y=2|x-1|+|x-2|-4|x-3|,先描（1,-7），（2-2），（3,5），计算2+1-4=-1,可得图象为M型，易得单调增区间为（-∞，3],单调减区间为[3,+∞）];值域为（-∞，5].
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