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椭 圆 及 其 标 准 方 程

时间:2022-08-17 11:10:50 综合教育论文 我要投稿
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椭 圆 及 其 标 准 方 程

椭 圆 及 其 标 准 方 程 胡挺员 10月16日 《中学数学》  1 观察与实验(课外完成)   T:在自然界、科学界、技术界乃至我们的生活中都存在大量的“椭圆”形态,请大家注意观察,看能发现多少;并根据书上介绍的用绳子画椭圆的方法试着画些椭圆。   2 阅读与交流(1课时)   观察与实验的交流(略)   T:鉴于椭圆的重要性,我们有必要进一步对其进行定性和定量的研究。下面请大家阅读本节教材,对重、疑点作出标记,并尽可能用自己的想法进行解释。半小时后我们一起交流(教师巡回指导)。   T:下面我们开始交流。有疑的提问,无疑的为同学或者为我释疑。   S:(1)为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a?而不设为c和a?   (2)在“设a2-c2=b2“时,为什么要规定”b>0"?   (3)是否可以按画圆的直观图的方法画椭圆?   T:(4)改变椭圆定义中“大于|F1F2|”结果如何?   (5)推导椭圆标准方程的方程变形过程是否为等价变形?   (释疑过程略)   3 探索与创新(课外完成)   T:江泽民同志多次强调指出:“创新是一个民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力。”(《人民日报》1998年12月24日)。那么,对椭圆标准方程的推导你能否通过探索有所创新?下堂课展示大家的研究成果。   4 成果与点评(约1课时)   思路一:(S俞沧粟等)由A+B=2a,左边分子有理化,建立关于A、B的方程组,求出A或B,…   T:逆向思维、方程思想!   思路二:(S王一克等)由A+B=2a,为迅速去根号,寻找与之配偶的共轭根式A-B=?。令A-B=Z,与A+B=2a联立解得Z,进而求出A、B。…   T:求简意识、方程思想!   思路三:(S周元、李高艳等提出思路)受用细绳画椭圆的实验的启发(当两定点渐渐靠近重合为一点时,椭圆变为圆),试图寻找椭圆和圆的标准方程之间的联系。由圆x2+y2=a2各点的纵坐标缩短到原来的b/a倍得到椭圆x2+(a/b)2y2=1,即x2/a2+y2/b2=1。   T:实验的感知、理性的思索!   思路四:(S孙亮、王韵等)受例2启发,由两圆方程(x+c)2+y2=r2与(x-c)2+y2=(2a-r)2(r为参数)联立获得。   T:得益于对“曲线的方程”的深刻理解和转化的思想!   思路五:(S俞沧粟、孙亮等)由(x/a)2+(y/b)2=1联想Sin2a+Cos2a=1,为使两者沟通,想到了三角函数定义。利用分别以a、b为半径,以原点为圆心的两个同心圆进行构造(是一条获得椭圆参数方程的精彩思路)。   T:反思、联想、构造、数形结合。   思路六:(T)由A+B=2a直接平方整理,注意结构特征,进行合理运算——胆量与智慧的结合!   思路七:(T)一个定点、一个定值的情况我们熟悉,为此,先考虑一个定点F1和一个定长2a(拉成一条线段)的情形,由此可发现,椭圆就是以F1为圆心、2a为半径的圆的半径的外端点与F2的连线的垂直平分线与该半径的交点的轨迹——退一步,实现转化!选修“几何画板的学习和应用”的同学不妨在电脑上玩一玩,你将会获得椭圆之外的惊喜!   5 反思与伏笔   T:上面我们根据椭圆的定义得到了推导椭圆标准方程的许多思路(思路一~四、六),是由“形”到“数”的过程;又通过对标准方程的反思,获得了推导标准方程的新思路(思路五),是由“数”再到“数”的过程。还运用了以退求进的策略对椭圆作出了另一种解释(思路七),这显然是从“形”到“形”的收获。那么,你能否从“数”到“形”再作些研究?比如由a2-cx=aB进行适当变形,对椭圆作出新的几何解释?         


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