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小学生解答复杂应用题的困难原因分析

时间:2007-3-29栏目:数学论文

应用题历来是小学数学教学的难点,但也是发展学生思维能力的重要工具。对于小学生解答应用题的困难 原因分析,既有利于改进教学方法,提高教学质量,也有利于对差生的学习障碍进行诊断,提高他们的思维技 巧。
    对于造成一步或两步计算应用题困难的原因,国内早有研究。研究者认为,解一步应用题困难的原因主要 是学生对应用题的结构、类型以及对应用题中时间、空间的叙述不能正确理解;解两步应用题困难的原因主要 是没有学好一步应用题和没有掌握好分析应用题的方法。
    我们针对三步以下应用题的困难原因进行了研究。在两所小学的六年级各选取2名最优秀的学生和2名中等 偏差学生,采取个别测试的方法,让他们每人分析6个应用题并列出算式(题目附后),要求他们解题时自言自 语“出声思维”,以研究他们的思维过程。每个题限思考8分钟。
    结果列于下表。
    表1 各题的有关特征及正确人数 题类型 分数应用题 行程应用题 归一应用题 题号 1 2 3 4 5 6 步骤数 3 4 3 5 3 5 优生(4人) 3 4 0 1 4 4 中下生(4人)1 0 0 0 2 3 合计(8人) 4 4 0 1 6 7
    显然,总的来说,优生的成绩明显高于中下生,但差别最明显的是中等难度的题(第1、2、5题),在最容 易的题目上(第6题)正确率都很高,最难问题上(第3、4题)正确率都极低,差异均不显著。这可能是因为优 生和中下生都具备了一定的解决应用题的技巧,在解决较复杂的问题上,优生显然具备了更高的解题技巧,但 即使是优生,在解决第3、第4这样的题目时,也会显得一筹莫展,正确率极低。这充分暴露了应试教育在思维 技能培养上的缺陷。
    小学生解答复杂应用题困难的主要原因是什么?我们原先设想,解答步骤越多,难度越大,但本实验的结 果证明,无论对于优生和差生来说,第1、2、3、5题(均为三步计算)的难度并不小于第2、4、6题(均为四至 五步),步骤多少不是造成复杂应用题困难的主要原因。那么主要原因在哪里?我们请有经验的数学教师(数 学教研组长、副校长)就这6个题的“典型程度”打分(每个题的典型程度是指该题在学生教材例题和习题中出 现的可能性大小),结果表明,典型程度和困难程度(正确率)呈高度相关(没有经验的教师“典型程度”评 分与困难程度相关系数偏低)。或许这能说明复杂应用题困难的最主要原因:小学生习惯于在解题时生搬硬套 教材中的例题和习题,缺乏创造性的思维技巧,因此出现对“不典型”的应用题的束手无策现象。
    那么,对于典型程度不高的应用题,小学生感到困难的原因是什么呢?我们详细分析了学生解题过程中的 “出声思维”的记录,发现至少存在以下四个原因:
    一、基本概念并未真正形成或熟练程度不够,所以容易错误
    地判断题的类型
    这一问题主要表现在中下生身上,下面是一位中下生解第4题的部分思维过程:
    ……用速度乘以时间,时间怎么求呢?
    ……不对,把整条水渠看成单位"1"
    可以把甲队每天修的米数看成1/35,把乙队修的看成1/38,……知道怎么做了,用35与38的和去除以1/35 与1/38的和……
    该生起初的思路是对的,可以把“每天挖35米”看成是速度,但由于“总长”不知道,因此无法求“时间 ”,所以该生很快否定了自己的正确思路,开始设想把整条水渠看成单位"1",接下来又错误地把甲队每天修的 米数看成1/35。显然,该生头脑中的分数概念关未真正形成,至少分数概念并未达到熟练程度。1/35的真正含 义是“每米占全天工作量的1/35”,或者进一步理解为挖1米所需时间是全天时间的1/35,而不能理解成为“每 天能完成总工作量的1/35”。由于分数概念未牢固掌握,所以错误地把这个题看成是“工程问题”。
    格式塔心理学家韦特海默尔(M.Weitheimer)早在1959年就发现,学生只要照搬老师的例题,就能运用“底 ×高”的公式来解决平行四边形面积计算问题,但头脑中并未真正行成“平行四边形面积”的科学概念,所以 遇到和老师画的平行四边形不同的奇特的非典型的平行四边形时,就束手无策了。他批评传统教学方法阻碍了 学生创造力的发展。
    值得一提的是,运用传统方法进行教学时,学生往往凭生搬硬套就能解决基本概念问题(表现为一步计算 的应用题),而且多数情况下能得到正确答案。这样,教师无意之中强化了学生机械模仿与不深入思考的思维 习惯。
    如何解决这一问题?我们认为最根本的措施是改革传统的应用题练习方法,应该用大部分时间练习那些单 凭机械模仿不能奏效的习题形式,如根据题意补充已知条件、删除多余条件,自己提出未知条件,依据数学运 算式自编应用题,说明在特定题意前提下的一个算式(或一个分数)的意义,等等。
    二、不善于从整体上把握题目中的数量关系,因此不能正确
    识别题的类型
    当代认知心理学家西蒙(H.A.simon)认为,解决应用题的过程是“模式识别”的过程。例如,当学生识别出 眼前的应用题是“相遇问题”,就能调用有关相遇问题的解题方法来解决眼前的题。因此,识别问题的类型就 成了解题的关键。然而,困难的题往往“伪装”得很巧妙,让人难以识别其真面目。例如,第3题,表面上看是 个“相向问题”,而实质上是个“相遇的题”。尽管此题只需三步便能计算出来,然而在我们的实验中没有一 个学生能正确列出算式。下面是一位“优生”的思维过程:
    先求甲车走完AB所用的时间:205÷48,
    然后乙车速度乘以这个时间就是乙车所走的路程,205÷48×52,
    然后再减205就是甲车……(发现不对),
    205减去乙车沿原路返回的路程……不对,怎么做呢……
    甲每小时48、乙每小时52……
    52×(205÷48)-205……(又发现不对)
    乙车每小时比甲车多行4公里(52-48),
    甲车行了几小时?每小时多行4…
    205÷4就是乙车行的时间,……乙车返回……
    很显然这位“优生”未能识别这个题“实质是相遇问题”的根本原因在于他未能形成对这个问题的“整体 把握”,只是就单个的句子进行联想或推理。如果画出下面一个示意图,就能从整体上理解题意,并因此很容 易识别出题的类型和相应的解题方法。
    (附图 {图})
    由此看来,如何训练学生准确理解题意,特别是从整体上把握题目中的数量关系,是提高学生解答复杂应 用题能力的重要任务之一。我们认为,在这方面应该注意两个问题:第一,是研究学生把握题目整体数量关系 的特点,总结出把握题目整体数量关系的思维技巧并进行专门的训练,第二,必须使这种思维方法“条件化” 。所谓条件化,就是指知道这种思维方法在什么条件下使用。以上述第3题的“画图示”的思维方法为例,优等 生应该具备了画图示的能力,却不知道什么时候应该画图示,结果该画图时,却不去画图,从而难以从整体上 把握该题的题意及数量关系。
    三、未能把解题模式抽象成为一种思维策略,所以

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