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探索,猜想,论证

时间:2007-3-29栏目:数学论文

小学生学习数学的过程,是一种复杂的、有规律的、在教师引导下的认识过程。在教学中,可以结合具体教学内容,根据认知发生原理,按照“实验探索——猜想论证——应用推广”这一人类掌握数学的思维活动序列设计教学程序。现以“方圆率”一节练习课为例,谈小学数学教学设计。

一、实验探索

爱因斯坦说过,提出一个问题,往往比解决一个问题更为重要。在教学中,教师首先应该注意创设情境,让学生带着疑问积极思维,去“实验”、去“探索”、去“发现”……。例如在讲授“方圆率”时,教师可设计以下步骤引导学生进行探索发现。

1.设疑引思

(1)右图正方形的面积是25平方厘米,求图中阴影部分的面积。附图{图}

学生根据5×5=25,可得知正方形边长是5厘米,同时还知圆的直径也是5厘米,于是圆的面积、阴影部分的面积均可求出。

(2)如果右上图正方形的面积是10平方厘米,求阴影部分的面积。

此题用上面的方法无法求出正方形的边长(圆的直径),也就是说在小学生现有的知识库中,无法找到现成的解答方法。怎么办呢?这时教师可引导学生另辟蹊径。

2.实验探索

组织学生按下面步骤进行实验探究。

(1)计算全班分成四个小组,分别依次计算出边长是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的正方形面积和直径是1、2、3、4、5、6、7、8、9厘米的圆的面积,以及圆面积与正方形面积的百分比。

(2)汇报请各组选出代表汇报计算结果,并填好下表。

直径12345圆形面积0.7853.147.06512.5619.625边长12345正方形面积1491625圆面积占正方形面积的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%78.5%直径6789……圆形面积28.2638.46550.2463.585……边长6789……正方形面积36496481……圆面积占正方形面积的百分比78.5%78.5%78.5%78.5%……

(3)观察观察比较上表,学生初步发现:如果圆的直径和正方形的边长相等,那么当π取3.14时,圆面积占正方形面积的百分比均为78.5%。

二、猜想论证

数学方法理论的倡导者G.波利亚曾说过,在数学领域中,猜想是合理的、值得尊重的,是负责任的态度。他认为,在有些情况下,教猜想比教证明更为重要。他说,如果在学习数学时还有数学发现方面的什么事情可以做的话,就必须使学生有个提问题的机会,在这些问题中他得在一定水平上,首先是猜想,然后是证实一个数学事实。然而普通教科书不提供那样的机会。所以,在教学中当学生初步发现问题后,还要按照“问题→反复思索→联想、顿悟→提出假说→验证结论”这个数学猜想的思维模式进行教学。例如教师在学生初步发现问题的基础上,可引导他们对上面的发现进行反复思索、分析概括,并由“圆周率”通过联想、顿悟后提出有关“方圆率”的猜想:如果圆的直径和正方形的边长相等,那么圆面积占正方形面积的比是一个固定的数。

最后再启发学生对这一猜想进行论证(直观的验证或逻辑的证明),使他们真正理解“方圆率”。

a设正方形的边长为a,则面积为S[,正]=a[2];圆的半径为─,则2a圆的面积为S[,圆]=(─)[2]π。2aa[2](─)[2]π──πS[,圆]24πS[,圆]π因为───=──────=────=─,所以───=─,证毕。S[,正]a[2]a[2]4S[,正]4

三、应用推广

“读书是学习,使用也是学习,而且是更重要的学习。”教学中,当学生理解了所学的知识以后,教师还要引导他们将所学的东西用心消化,吸收到自己的知识系统中,吸收到学习者的整体智力结构中,使得这些知识能在更广泛的情境中得到应用和扩展。例如学生理解了“方圆率”以后,可设计出以下不同层次的练习题启发学生回答,这样可深化他们对知识的理解与掌握,培养了创造能力。

1.基本训练

已知右图正方形面积是10平方厘米,求阴影部分面积。附图{图}

学生依据上面的规律,便可进行如下计算。附图{图}

2.变式训练

(1)用硬纸做一个边长为10厘米的正方形和一个直径为10厘米的圆,再将圆剪成两个半圆。

①引导学生用两个半圆在正方形里摆各种图形。如:附图{图}

②启发学生讨论,总结出求图中阴影部分面积的方法:πS[,阴]=S[,正]×(1-──)。

(2)用硬纸做一个边长为10厘米的正方形和一个直径为10厘米的1圆,再将圆剪成四个──圆。

①引导学生用四块──圆在正方形内摆各种图形,如:附图{图}

②启发学生认真观察,讨论总结出求图中阴影部分面积的方法:πS[,阴]=S[,正]×(1-──)。

3.拓展训练

(1)用硬纸做一个边长为10厘米的正方形,并在正方形内画一个最大的圆。

①把这个正方形平均分成两等份(如图),启发学生讨论总结出每份图中阴影部分面积的求法:附图{图}

②把这个正方形平均分成四等份(如图),启发学生讨论总结出每份图中阴影部分面积的求法:附图{图}

(2)用硬纸做若干个边长均为10厘米的正方形,并在每个正方形内画一个最大的圆。

①用这些小正方形摆成一个大正方形(如图),启发学生讨论总结出求图中阴影部分面积的方法:附图{图}

②用这些小正方形摆成一个长方形(如图),启发学生总结出求图中阴影部分面积的方法:附图{图}

多年的教改实践结果显示:结合教材和学生实际,按照人的认识进化过程或发生过程,采用“再创造”的教学模式进行教学,既有利于学生对知识的理解与掌握,又可使他们的形象思维、抽象思维和顿悟思维得到发展,在教学(学习)的全过程中学生还领悟到了创造科学的伟大智者们,在那条荆棘丛生的科学研究的道路上奋力攀登的风采,从而培养了他们的创造精神。

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