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正确区分正比例和反比例的关系

时间：2022-08-13 04:50:12 数学论文我要投稿

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正确区分正比例和反比例的关系

正确区分正比例和反比例的关系
　　
　　贵州省水城县红岩乡波浪小学徐大艳贵州省水城县红岩乡红岩小学徐大权
　　
　　【摘要】正比例和反比例这部分内容学生在学习过程中，尤其是在练习时，往往容易弄错，混淆两者之间的关系。因此，正确区分正比例和反比例之间的关系，是非常必要的。
　　
　　【关键词】正比例反比例关系
　　
　　小学六年级的学生在学习正比例和反比例这部分内容时，尤其是在练习过程中容易混淆不清，经常弄错。下面，本文从不同的角度帮助他们正确区分这两者的关系，希望对他们的学习会有所帮助。
　　
　　一、正确认识两者的意义
　　
　　正比例和反比例的意义教材中是安排在从Ｐ39到Ｐ47来进行叙述讲解的，且都是通过对实验中的数据进行分析之后概括得出的结论，这样学生相对易于接受。
　　
　　1.正比例的意义：教材中的表述是“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。”
　　
　　2.反比例的意义：教材中的表述是“两种相关联的量，一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。”
　　
　　二、正比例和反比例的表达式
　　
　　（一）正比例关系的表达式
　　
　　如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的关系式来表示：
　　
　　y/x=k（一定）或y =kx（k一定）
　　
　　（二）反比例关系的表达式
　　
　　如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以用下面的关系式来表示：
　　
　　X×y=k（k一定）或y=kx（k一定）
　　
　　三、正比例和反比例的规律及实质
　　
　　1.正比例关系中两种相关联的量的变化规律。正比例关系中两种相关联的量的变化规律是：同时扩大，同时缩小，比值（或商）不变。
　　
　　例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
　　
　　完成该题练习时，可以先写出路程、速度和时间三者之间的关系式：速度=路程/时间，已知条件中速度为一定（即常量），根据“速度=路程/时间”这一关系式，结合正比例的意义，即可知道所行的路程和所用的时间是成正比例关系的。也就是说，当速度一定时，走的路程越多，所花费的时间也越多，反之，亦然。换句话说，路程和时间是成倍增长或缩小的。
　　
　　2.反比例关系的两种相关联的量的变化规律
　　
　　反比例关系的两种相关联的量的变化规律是：一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变。
　　
　　例如：当图上距离一定时，实际距离和比例尺是否成反比例？因为实际距离×比例尺=图上距离（一定），所以，实际距离和比例尺是成反比例的。
　　
　　四、正比例和反比例的异同点
　　
　　（一）正比例和反比例的相同点
　　
　　1.在事物关系中都包含有三个量， (范文先生网　 www.fwsir.com) 即有两个变量和一个常量（即定值）。
　　
　　2.在相关联的两个变量中，当一个变量发生变化时（扩大或缩小），则另一个变量也随之发生变化。
　　
　　3.它们相对应的两个变量的积或商都是一定的（即常量）。
　　
　　也就是说，在正比例和反比例的两个相关联的变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大（乘以一个数）或缩小（除以一个数）若干倍的变化。
　　
　　（二）正比例和反比例的不同点
　　
　　1.正比例的定量（或定值）是两个变量中相对应的两个数（即变量）的比值（或商）。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。
　　
　　2.当用图象来表示正比例或反比例中两个变量之间的关系时，所画出来的图象是不一样的。正比例的图象是一条倾斜的直线（又叫斜线）。反比例的图象是一条曲线，且两端永远不会与两条轴线（即横轴和纵轴或函数中所称的x轴和y轴）相交。
　　
　　（三）正比例、反比例之间可以相互转化
　　
　　当正比例中的x值（自变量的值）转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，则由反比例转化为正比例。
　　
　　需要说明的是，教科书中在“正比例和反比例的意义”的讲解中，并没有指出正比例和反比例关系表达式中常量和变量的取值范围。根据正比例的关系式y/x=k（一定）和反比例的关系X×y=k（k一定）可以知道，无论是正比例还是反比例，两个变量x、y和常量k均不能为零。试想，在正比例y/x=k（一定）中，如果x为0，式子无意义；如果y为0，x不为0，则x的值是不确定的（这时候k的值为0），此时x和y就不存在正比例的说法了。同样，在反比例X×y=k（k一定）中，如果x和y两个变量中，只要其中一个为0或两个都同时为0，则k的值都为0，x和y也无所谓反比例关系了。再说，如果x和y同时为0的话，那么x和y也不叫变量了，都不符合反比例的意义。所以，无论是正比例关系，还是反比例关系中，两个变量x和y以及常量k都不能为0。
　　
　　因此，当正比例或反比例关系中其中一个变量用字母表示时，要求我们通过讨论确定另一个变量的取值范围的时候，我们就要注意正比例或反比例关系中两个变量的取值绝对不能为零，否则，就失去意义了。
　　
　　【参考文献】
　　
　　1.卢江、杨刚主编，义务教育课程标准实验教科书小学六年级《数学》下册[S]，人民教育出版社出版。
　　
　　2.谢鼓平主编，小学六年级数学《教案与设计》[S]，新疆青少年出版社出版。
　　
　　3.《贵州教育》[J]2012年第3-4期合订本第65页中《小学数学毕业复习建议》（王艳）。

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