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在层次教学中培养学生的思维能力
“层次教学”能引导和帮助学生克服思维障碍，推动思维多层面逐步深入地发展，使知识和能力不断升华．教师可根据知识结构的繁简和理解程度的难易，把包含在知识和规律内的复杂和隐蔽的内涵，层层剥离，进行多层面的展开，逐级推进和激发，既使教学由表及里，深入清晰地揭示出整体知识的本质和内在的规律，又可训练学生思维的广阔性和深刻性． 一、数学概念和定理公式多层次的理解 数学概念和定理公式的教学是数学知识教学的重要组成部分，由于其本身的复杂性、抽象性，理解和掌握时可将其分解为多个层次，先一层一层地认识，理解每一层次表达的意思，然后再分析和综合各层次间的内在联系，使形成完整的易于掌握的知识成为学生思维的必然．例如，对“复数的三角形式ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）”的理解，首先通过观察，可作出表层认识： 层次Ⅰ：复数ｚ的模为ｒ； 层次Ⅱ：复数ｚ的幅角为θ； 层次Ⅲ：ｒ的取值范围ｒ≥０； 层次Ⅳ：θ的取值范围０°≤θ＜３６０°． 在以上表层理解的基础上，可进一步扩展思维，使理解进入更深的本质的层次： 层次Ⅴ：复数ｚ可表示成向量ｚ； 层次Ⅵ：ｒ即为向量ｚ的长度，故ｒ≥０； 层次Ⅶ：θ即为向量ｚ与ｘ轴正向的夹角； 层次Ⅷ：θ的取值决定向量ｚ所在的象限． 至此，通过层次教学，揭示了“复数三角表达式”的本质，达到全面而深刻地理解公式的目的． 二、问题和情境层次化的创设 思维肤浅的学生，只能领会到问题中元素之间的浅层关系；思维深刻的学生则能深入问题内部，透过表层，掌握其内部元素间的深层关系，从而把握住问题的关键和本质．因此，在问题教学中，应有意识地引导学生作全面、深入的层次结构分析，创设适宜的问题情境，这有利于提高学生的思维品质，促使问题解决． 例１观察下表：１， ２，３，４， ３，４，５，６，７， ４，５，６，７，８，９，１０， …… 求第ｎ行各个数之和． 解本题的关键是深入分析上表的结构层次及数列的特点，从特殊的对象开始观察，通过分析、比较和分层归纳，得出一般规律．为此，教师应着重处理好如下三个层次的教学，并创设具有启发性的、逐层深入的问题情境． 层次Ⅰ：第ｎ行的第一个数是几？ 问题情境：第ｎ行的第一个数与其所在的行数有何关系？ 学生通过观察，容易得出，第ｎ行的第一个数与其所在的行数相同，即为ｎ． 层次Ⅱ：第ｎ行的最后一个数是几？ 问题情境：第ｎ行的最后一个数与其所在的行数有何关系？ 学生通过前四行中每一行的最后一个数：１，４，７，１０，可进一步归纳求等差数列１，４，７，１０，……的第ｎ项为３ｎ－２，即为第ｎ行最后一个数． 层次Ⅲ：求第ｎ行各个数之和． 问题情境：第ｎ行数列有何性质？其首项、未项、项数各是几？ 通过以上逐层分析，学生此时茅塞顿开，本题归结为求以ｎ为首项，３ｎ－２为末项，公差为１的等差数列的前２ｎ－１项的和，即第ｎ行各数之和Ｓｎ＝ｎ＋３ｎ－２２×（３ｎ－２－ｎ＋１）＝（２ｎ－１）２． 问题和情境层次化的创设，能引导和帮助学生架起思维的“梯子”，促使思维不断上“台阶”．一般来说，层次教学应符合以下要求： （１）要适合知识能力水平不同的学生．各问题之间的跨度要适当，即不能太小，限制了学生的思维；也不能太大，使学生一筹莫展，无所适从 （２）要体现学生思维的一般规律．如从感性到理性、从简单到复杂、由低级到高级等． （３）要遵循数学思想、方法的要求．数学思想方法是数学的精髓，是构成数学知识、技能的筋骨，数学问题和情境层次化的创设要体现数学思想方法的实质． （４）问题和情境本身要富有启发性．能引起学生的深入思考，尽量避免简单形式化的肯定或否定回答． 三、综合练习多层次变化 一般而言，综合性愈强、知识跨度愈大的数学题，要求解题的思维层次愈高，对方法和技巧的掌握愈熟练，思维训练的价值愈大，学生也愈难以理解，这就要求教师精心设计，根据问题进行多层次的变化，以减少坡度，顺利地从未知向已知过渡． 例２已知ｚ１＝ｘ＋５＋ｙｉ，ｚ２＝ｘ－５＋ｙｉ，且ｘ，ｙ∈Ｒ，｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＝６，求ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ－３ｙ的极值． 此题综合性强，融复数、函数、极值于一题，集化归、转化、数形结合于一身，所以对不少学生构成较大的困难．教师在讲解时，就应作适当变式，可分解为如下几个层次来处理： 第一层变化：转化条件．由已知得（ｘ＋５）２＋ｙ２＋（ｘ－５）２＋ｙ２＝６．① 揭示隐含关系：由方程①，知动点（ｘ，ｙ）的轨迹是以（－５，０）、（５，０）为焦点，长轴为６的椭圆，其方程为ｘ２９＋ｙ２４＝１． 第二层变化：变换原题叙述方式．原题变为：已知实数ｘ、ｙ满足方程ｘ２９＋ｙ２４＝１，求ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ－３ｙ的极值． 第三层变化：代数问题几何化，直观处理． 揭示深层关系：设ｍ＝２ｘ－３ｙ，有ｙ＝２３ｘ－ｍ３，此乃斜率为２３，纵截距为－ｍ３，且过椭圆ｘ２９＋ｙ２４＝１上的点的一束平行线，当直线与椭圆相切时，－ｍ３（从而就是ｍ）取极值． 计算求解：将３ｙ＝２ｘ－ｍ代入４ｘ２＋９ｙ２＝３６，并根据判别式Δ≥０，求得｜ｍ｜≤６２，即ｍｍａｘ＝６２，ｍｍｉｎ＝－６２． 综合习题多层次变化，体现在引导学生审题、推理、探路、寻找最佳策略、展示解题过程、回顾评述、延续拓广等各个环节，从各方面联想、类比，培养学生思维的深刻性和创造性，使知识和能力不断升华． 四、系统知识不同阶段的层次要求 数学知识本身是一个多层次的结构系统，因此，理解和掌握知识应遵循由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级的认识顺序，保证知识学习的系统性，这就必然存在知识在不同阶段的层次要求问题．为此，教师应根据大纲和学习的不同时期和阶段，设置相应的教学层次，提出适当的要求，并善于以知识促思维，使思维在知识的系统学习和不断巩固中向广度知深度发展．根据知识学习和思维发展的关系，教学层次和要求要设置在学生的最近发展区．例如在“将复数的代数式化为三角式”这一节里的内容是学生力所能及的，如果让学生解决问题，就不能简单提“怎样把复数的代数式化为三角式呢”这样太抽象、太空洞的问题，如果换一种方式提问：“已知ａ和ｂ为不同时为零的实数，求ｒ和θ，使得ａ＋ｂｉ＝ｒ·（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｒ＞０，０≤θ≤２π）”，则属于学生思维的最近发展区．学生通过认真思索，最终能达到“跳一跳能摘到果子”的目的． 总之，数学思维能力的形成必须是依靠数学知识基础上的发展运动．数学思维的教学应从学生的思维潜在水平开始，通过教学把潜在水平转化为新的现有水平，在新的现有水平基础上，又出现新的思维潜在水平，并形成新的思维最近发展区，于是教学又从新的思维潜在水平开始……，这种循环往复、不断转化和思维发展区层次逐步推动的过程，就是学生不断积累知识和推动数学思维向前发展的过程．因此，教学的真正意义就在于善于发现并及时捕捉到各个发展阶段和层次的“教学最佳期”，给学生的数学学习方法及思维途径以针对性的有效的指导．
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