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学解应用题工程问题思路指点

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    (江西省吉安市古南一小 公木)
    工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的:“工程问 题”,一般是把工作总量作为单位“1”,因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是:工作总 量÷工作效率=工作时间。
    工程问题是小学分数应用题中的一个重点,也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型,分别进 行思路分析,并加以简要的评点,旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
    例1 一项工程,由甲工程队修建,需要12天,由乙工程队修建,需要20天,两队共同修建需要多少 天?
    [思路说明] ①把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建需要12天,修建1天完成这项工程的1 /12;乙队修建需要20天,修建1天完成这项工程的1/20。甲、乙两队共同修建1天,完成这项工程 的1/12+1/20=2/15,工作总量“1”中包含了多少个2/15,就是两队共同修建完成这项工 程所需要的天数。
    1÷(1/12+1/20)=1÷2/15=15/2(天)
    ②设这项工程的全部工作量为60(12和20的最小公倍数),甲队一天的工作量为60÷12=5, 乙队一天的工作量为60÷20=3,甲、乙两队合建一天的工作量为5+3=8。用工作总量除以两队合建 一天的工作量,就是两队合建的天数。
    60÷(60÷12+60÷20)=60÷(5+3)
    =60÷8=15/2(天)
    评点 这是一道工程问题的基本题,也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法,前者比较简 便。这种解法把工作量看作“1”,用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率,用工作总量除以工作效 率和,就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。
    练习:一段公路,甲队单独修要10天完成,乙队单独修要12天完成,丙队单独修要15天完成,甲、 乙、丙三队合修,需要几天完成?
    例2 一项工程,甲队独做8天完成,乙队独做10天完成,两队合做,多少天完成全部工程的3/4?
    [思路说明] ①把这项工程的工作总量看作“1”,甲队独做8天完成,一天完成这项工程的1/8; 乙队独做10天完成,一天完成这项工程的1/10。甲、乙两队合做一天,完成这项工程的1/8+1/1 0=9/40,工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和,就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间 的3/4,就是甲乙合做完成全部工程的3/4所需的时间。
    1÷(1/8+1/10)×3/4
    =1÷9/40×3/4=10/3(天)
    ②把甲、乙两队合做的工作量3/4,除以甲、乙两队的效率之和1/8+1/10=9/40,就是甲 乙合做完成全部工程的3/4所需要的时间。
    3/4÷(1/8+1/10)=3/4÷9/40=10/3(天)
    评点 思路①是先求出两队合做一项工程所需的时间,再用乘法求出完成全部工程的3/4所需的时间。 思路②是把“3/4”看作工作总量,工作总量除以两队效率之和,就可以求出完成全部工程的3/4所需的 时间。两种思路简捷、清晰,都是很好的解法。
    练习:一项工程,单独完成,甲队需8天,乙队需12天。两队合干了一段时间后,还剩这项工程的1/ 6没完成。问甲、乙两队合干了几天?
    例3 东西两镇,甲从东镇出发,2小时行全程的1/3,乙队从西镇出发,2小时行了全程的1/2。 两人同时出发,相向而行,几小时才能相遇?
    [思路说明] ①由甲2小时行全程的1/3。可知甲行完全程要2÷1/3=6(小时);由乙2小时 行全程的1/2,可知乙行完全程要2÷1/2=4(小时)。求出了甲、乙行完全程各需要的时间,时间的 倒数便是各自的速度,进而可求出两人速度之和,把东西两镇的路程看作“1”,除以速度之和,就可求出两 人同时出发相向而行的相遇时间。
    综合算式:
    1÷(1/(2÷1/3)+1/(2÷1/2))
    =1÷(1/6+1/4)=1÷5/12=12/5(小时)
    ②由甲2小时行了全程的1/3,可知甲每小时行全程的1/3÷2=1/6;由乙2小时行全程的1/ 2,可知乙每小时行全程的1/2÷2=1/4。把东西两镇的路程“1”,除以甲、乙的速度之和,就可得 到两人同时出发相向而行的相遇时间。
    综合算式:
    1÷(1/3÷2+1/2÷2)
    =1÷(1/6+1/4)=1÷5/12=12/5(小时)
    评点 本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间,所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度 ,是解题的关键所在。
    练习:打印一份稿件,小张5小时可以打完份稿件的1/3,小李3小时可以打完这份稿件的1/4,如 果两人合打多少小时完成?
    例4 一项工程,甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成,乙独做多少天可以完成?
    [思路说明] 把一项工程的工作总量看作“1”,甲、乙合做6天可以完成,甲、乙合做一天,完成这 项工程的1/6,甲独做18天可以完成,甲做一天完成这项工程的1/18。把甲、乙工作效率之和,减去 甲的工作效率1/18,就可得到乙的工作效率:1/6-1/18=1/9。工作总量“1”中包含了多少 个乙的工作效率,就是乙独做这项工程的需要的时间。
    1÷(1/6-1/18)=1÷1/9=9(天)
    评点 这是一道较复杂的工程问题,是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及 工程问题的数量关系,解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是:先求出独做的队或个人的工作效率 ,然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率,就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
    有的同学在解这道题时,由于审题马虎,而且受基本工程问题解法的影响,错误地列成:1÷(1/6+ 1/18),这是同学们应引起注意的地方。
    练习:一批货物,用大小两辆卡车同时运送,5小时可以运完。如果用小卡车单独运,15小时可以运完 。问大卡车单独运几小时可以运完?
    例5 加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,乙要15天完成,丙要12天完成。如果先由甲、 乙两人合做5天后,剩下的由丙1人做,还要几天完成?
    [思路说明] 题目要求剩下的工作量由丙1人做,还要几天完成,必须知道剩下的工作量和丙的工作效 率。
    加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,甲一天加工一批零件的1/10;乙要15天完成,乙一 天加工一批零件的1/15;丙要12天完成,丙一天加工一批零件的1/12。甲、乙合做一天,完成这批 零件的1/10+1/15=1/6,合做5天完成这批零件的1/6×5=5/6,工作总量“1”减去甲 、乙合做5天的工作量,就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率,就可以求出剩下的工作量 由丙1人做还要几天完成。
 

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