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用猜想验证的方法化循环小数为分数

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    把循环小数化成分数的方法,可以用移动循环节的过程来推导,也可以用无限递缩等比数列的求和公式计 算得到。下面我们运用猜想验证的方法来推导。
    (一)化纯循环小数为分数
    大家都知道:一个有限小数可以化成分母是10、100、1000 ……的分数。那么,一个纯循环小数可以化成 分母是怎样的分数呢?我们先从简单的循环节是一位数字的纯循环小数开始。如:@①、@②……化成分数时 ,它们的分母可以写成几呢?
    想一想:可能是10吗?不可能。因为1/10=0.1〈@①,3/10=0.3〉@②;可能是8吗?不可能。 因为1/ 8=0.125〉@①,3/8=0.375〉@②;那么,可能是几呢?因为1/10〈@①〈1/8,3/10〈@②〈3/8,所以分 母可能是9。 下面我们来验证一下自己的猜想:1/9=1÷9=0.111……=@①;3/9=1/3=1÷3=0.333……= @②。
    计算结果说明我们的猜想是对的。那么,所有循环节是一位数字的纯循环小数都可以写成分母是9的分数吗 ?让我们根据自己的猜想, 把@③、@④化成分数后再验证一下。
    @③=4/9 验证:4/9=4÷9=0.444……
    @④=6/9=2/3 验证:2/3=2÷3=0.666……
    经过上面的猜想和验证,我们可以得出这样的结论:循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用一个 循环节组成的数作分子,用9 作分母;然后,能约分的再约分。
    循环节是两位数字的纯循环小数怎样化成分数呢?如:@⑤、@⑥……化成分数时,它们的分母又可以写 成多少呢?
    想一想:可能是100吗?不可能。因为12/100=0.12〈@⑤,13/100=0.13〈@⑥。可能是98吗?不可能。 因为12/98≈0.1224〉@⑤,13/98≈0.1327〉@⑥;可能是多少呢?因为12/100〈@⑤〈12/98,13/100〈@⑥ 〈13/98,所以分母可能是99。是否正确,还需验证一下。
    12/99=12÷99=0.121212……=@⑤;
    13/99=13÷99=0.131313……=@⑥。
    验证结果说明我们的猜想是正确的。那么,所有循环节是两位数字的纯循环小数都可以写成分母是99的分 数吗?让我们再运用猜想的方法,把@⑦、@⑧化成分数后,验算一下。
    @⑦=15/99=5/33,验算:5/33=5÷33=0.151515……
    @⑧=18/99=2/11,验算:2/11=2÷11=0.181818……
    经过这次猜想和验证,我们可以得出这样的结论:循环节是两位数字的纯循环小数化成分数时,用一个循 环节组成的数作分子,用99作分母;然后,能约分的再约分。
    现在,你能推断出循环节是三位数字的纯循环小数化成分数的方法吗?
    因为循环节是一位数字的纯循环小数化成分数时,用9作分母, 循环节是两位数字的纯循环小数化成分数 时,用99作分母,所以循环节是三位数字的纯循环小数化成分数时,我们猜想是用999作分母, 分子也是一个 循环节组成的数。让我们再来验证一下,如果这个猜想也是正确的,那么,我们就可以依次推下去了。
    附图{图}
    实验证明:我们的猜想是完全正确的。照此推下去,循环节是四位数字的纯循环小数化成分数时,就要用 9999作分母了。实践证明也是正确的。所以,纯循环小数化成分数的方法是:
    用9、99、999……这样的数作分母,9 的个数与循环节的位数相同;用一个循环节所组成的数作分子;最 后能约分的要约分。
    二、化混循环小数为分数
    我们已经运用猜想验证的方法研究过怎样化纯循环小数为分数,再用这种方法研究一下怎样化混循环小数 为分数。
    还是先从较简单的数入手,如:
    附图{图}
    ……这样循环节只有一位数字的混循环小数化成分数时,分子、分母分别有什么特点呢?
    这样想:一个混循环小数有循环部分,还有不循环部分,能否将它改写成一个纯循环小数与一个有限小数 的和,然后再化成分数呢?让我们试试看。
    附图{图}
    观察以上过程,你能看出循环节只有一位数字的混循环小数化成的分数有什么特点吗?很容易看出:它们 的分母都是由一个9与几个0组成的数。再仔细观察可以发现:0 的个数恰好与不循环部分的数字个数相同。它 们的分子有什么特点呢?不难看出:它们的分子都比不循环部分与第一个循环节所组成的数要小。到底小多少 呢?让我们算一算:
    (1)21-19=2 (2)543-489=54 (3)696-627=69
    细心观察不难看出:分子恰好是一个比不循环部分与第一个循环节所组成的数少一个由不循环部分的数字 所组成的数。这个规律具有普遍性吗?让我们运用以上的规律把
    附图{图}
    化成分数,验证一下它的正确性。
    附图{图}
    验证:352/1125=352÷1125=0.312888……
    验证的结果是完全正确的。那么,循环节是两位数字的混循环小数化成的分数,分子、分母是否也有这样 的规律呢?分子是由一个比小数的不循环部分与第一个循环节所组成的数少一个不循环部分的数字所组成的数 ;分母是由9和0组成的数,0 的个数与不循环部分的数字个数相同,9的个数与一个循环节的数字个数相同。 让我们按照猜想的方法试把
    附图{图}
    化成分数,然后再验证一下。
    附图{图}
    实践证明,我们的猜想是正确的。那么,循环节是三位数、四位数……的混循环小数是否也能按照这样的 方法化分数呢?让我们把
    附图{图}
    化成分数后,再验证一下
    附图{图}
    验证的结果也是正确的,说明我们的猜想可能是正确的。这个方法也确实是正确的。当然,我们在运用猜 想验证的方法时,并不一定每次的猜想都是正确的。如果不正确,就需要根据具体情况进行修改,然后再验证 ,直至正确为止。
    猜想验证的方法是人类探索未知的一种重要方法,很多科学规律的发现,都是先有猜想,而后被不断的验 证、再猜想、再验证才被认识。猜想验证也是一种重要的数学思想方法。我们应在向学生讲解具体知识的同时 ,也要求他们从小就学习运用这种思想方法。
    字库未存字注释:
    @①原字为0.1,1上加.
    @②原字为

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