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一元二次方程实数根错例剖析课 —— 初中数学第四册教案

时间: 2008-08-02 栏目: 八年级数学教案

一元二次方程实数根错例剖析课 —— 初中数学第四册教案


课题:一元二次方程实数根错例剖析课

一元二次方程实数根错例剖析课 —— 初中数学第四册教案

 

【教学目的】  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析,帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法,使学生在解题时少犯错误,从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax2+bx+c=0,a_____时,方程为一元一次方程;当 a_____时,方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______,当△_______时,方程有两个相等的实数根,当△_______时,方程有两个不相等的实数根,当△________时,方程没有实数根。

【典型例题】               

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是()

(A)   x2+2x+3=0     (B) x2-2x+3=0    (c)  x2-2x-3=0      (D)  x2+2x+3=0

错答: B

正解: C

错因剖析:由根与系数的关系得x1+x2=2,极易误选B,又考虑到方程有实数根,故由△可知,方程B无实数根,方程C合适。

例2   若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0  两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是(     )

(A)   k>-1     (B)  k<0    (c) -1< k<0    (D) -1≤k<0

错解 :B

正解:D

错因剖析:漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3(2000广西中考题) 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围。

错解: 由△=(-2 )2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得  k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

围是 -1≤k<2

错因剖析:漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上,当1-2k=0k= 时,原方程变为一次方程,不可能有两个实根。

正解: -1≤k<2k≠

例4             (2002山东太原中考题) 已知x1x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根,当x12+x22=15时,m的值。

错解:由根与系数的关系得

       x1+x2-(2m+1),    x1x2m2+1,

      x12+x22(x1+x2)2-2 x1x2

             [-(2m+1)]2-2(m2+1)

             2 m2+4 m-1

      又∵ x12+x22=15

      2 m2+4 m-1=15

      m1 -4   m2 2

错因剖析:漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m = -4时,方程为x2-7x+17=0,此时△=(-7)2-4×17×1=  -19<0,方程无实数根,不符合题意。

正解:m = 2

例5   若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。

错解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1)16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0,

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m2-1≠0,

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范围是m≠±1m≥ -

错因剖析:此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是关于未知数x的方程,而未限定方程的次数,所以在解题时就必须考虑m2-1=0和m2-1≠0两种情况。当m2-1=0时,m=±1方程变为一元一次方程,仍有实数根。

正解:m的取值范围是m≥-  

例6  已知二次方程x2+3 x+a=0有整数根,a是非负数,求方程的整数根。

错解:∵方程有整数根,

∴△=9-4a>0,a<2.25

又∵a是非负数,∴a=1a=2

a=1,x= -3± 舍去a=2,x1= -1、 x2= -2

∴方程的整数根是x1= -1, x2= -2

错因剖析:概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分,当a=0时,还可以求出方程的另两个整数根,x3=0, x4= -3

正解:方程的整数根是x1= -1, x2= -2 ,  x3=0, x4= -3

 

【练习】

练习1、(01济南中考题)已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2(1)求k的'取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。

解:(1)根据题意,得△=(2k-1)2-4 k2>0      解得k<

∴当k< 时,方程有两个不相等的实数根。

(2)存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,则x1+ x2= - =0,

 解得k 。经检验k 是方程- 的解。

∴当k 时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。

读了上面的解题过程,请判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。

解:上面解法错在如下两个方面:

(1)漏掉k≠0,正确答案为:当k< 时且k≠0时,方程有两个不相等的实数根。

(2)k 。不满足△>0,正确答案为:不存在实数k,使方程的两实数根互为相反数

练习2(02广州市)当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根 ?

解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,∴x

(2)当a≠0时,∵△=16+4a≥0   a≥ -4

∴当a≥ -4a≠0时,方程有实数根。

又因为方程只有正实数根,设为x1,x2则:

x1+x2=- >0

x1. x2=- >0      解得 :a<0

综上所述,当a=0、a≥ -4、a<0时,即当-4≤a≤0原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例,说明我们在求解有关二次方程的问题时,往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、运用根的判别式时,若二次项系数为字母,要注意字母不为零的条件。

2、运用根与系数关系时,△≥0是前提条件。

3、条件多面时(如例5、例6)考虑要周全。

【布置作业】  

1、当m为何值时,关于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有两个正根?

2、已知,关于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)没有实数根。求证:关于x的方程

m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、(2000年广东省中考题)设x1、 x2是方程x2-5x+3=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求(x1-x22的值。

2、(2001年广东省中考题)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0

(1)若方程的一个根为1,求m的值。

(2)m=5时,原方程是否有实数根,如果有,求出它的实数根;如果没有,请说明理由。

3、(2002年广东省中考题)已知关于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大33,求m的值。

4、(2003年广东省中考题)已知x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求pq的值。

 

课题:一元二次方程实数根错例剖析课

 

【教学目的】  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析,帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法,使学生在解题时少犯错误,从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax2+bx+c=0,a_____时,方程为一元一次方程;当 a_____时,方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______,当△_______时,方程有两个相等的实数根,当△_______时,方程有两个不相等的实数根,当△________时,方程没有实数根。

【典型例题】               

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是()

(A)   x2+2x+3=0     (B) x2-2x+3=0    (c)  x2-2x-3=0      (D)  x2+2x+3=0

错答: B

正解: C

错因剖析:由根与系数的关系得x1+x2=2,极易误选B,又考虑到方程有实数根,故由△可知,方程B无实数根,方程C合适。

例2   若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0  两个实数根之和大于-4,则k的取值范围是(     )

(A)   k>-1     (B)  k<0    (c) -1< k<0    (D) -1≤k<0

错解 :B

正解:D

错因剖析:漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3(2000广西中考题) 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围。

错解: 由△=(-2 )2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得  k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

围是 -1≤k<2

错因剖析:漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上,当1-2k=0k= 时,原方程变为一次方程,不可能有两个实根。

正解: -1≤k<2k≠

例4             (2002山东太原中考题) 已知x1x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根,当x12+x22=15时,m的值。

错解:由根与系数的关系得

       x1+x2-(2m+1),    x1x2m2+1,

      x12+x22(x1+x2)2-2 x1x2

             [-(2m+1)]2-2(m2+1)

             2 m2+4 m-1

      又∵ x12+x22=15

      2 m2+4 m-1=15

      m1 -4   m2 2

错因剖析:漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m = -4时,方程为x2-7x+17=0,此时△=(-7)2-4×17×1=  -19<0,方程无实数根,不符合题意。

正解:m = 2

例5   若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。

错解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1)16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0,

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m2-1≠0,

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范围是m≠±1m≥ -

错因剖析:此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是关于未知数x的方程,而未限定方程的次数,所以在解题时就必须考虑m2-1=0和m2-1≠0两种情况。当m2-1=0时,m=±1方程变为一元一次方程,仍有实数根。

正解:m的取值范围是m≥-  

例6  已知二次方程x2+3 x+a=0有整数根,a是非负数,求方程的整数根。

错解:∵方程有整数根,

∴△=9-4a>0,a<2.25

又∵a是非负数,∴a=1a=2

a=1,x= -3± 舍去a=2,x1= -1、 x2= -2

∴方程的整数根是x1= -1, x2= -2

错因剖析:概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分,当a=0时,还可以求出方程的另两个整数根,x3=0, x4= -3

正解:方程的整数根是x1= -1, x2= -2 ,  x3=0, x4= -3

 

【练习】

练习1、(01济南中考题)已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由。

解:(1)根据题意,得△=(2k-1)2-4 k2>0      解得k<

∴当k< 时,方程有两个不相等的实数根。

(2)存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数,则x1+ x2= - =0,

 解得k 。经检验k 是方程- 的解。

∴当k 时,方程的两实数根x1、x2互为相反数。

读了上面的解题过程,请判断是否有错误?如果有,请指出错误之处,并直接写出正确答案。

解:上面解法错在如下两个方面:

(1)漏掉k≠0,正确答案为:当k< 时且k≠0时,方程有两个不相等的实数根。

(2)k 。不满足△>0,正确答案为:不存在实数k,使方程的两实数根互为相反数

练习2(02广州市)当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根 ?

解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,∴x

(2)当a≠0时,∵△=16+4a≥0   a≥ -4

∴当a≥ -4a≠0时,方程有实数根。

又因为方程只有正实数根,设为x1,x2则:

x1+x2=- >0

x1. x2=- >0      解得 :a<0

综上所述,当a=0、a≥ -4、a<0时,即当-4≤a≤0原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例,说明我们在求解有关二次方程的问题时,往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、运用根的判别式时,若二次项系数为字母,要注意字母不为零的条件。

2、运用根与系数关系时,△≥0是前提条件。

3、条件多面时(如例5、例6)考虑要周全。

【布置作业】  

1、当m为何值时,关于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有两个正根?

2、已知,关于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)没有实数根。求证:关于x的方程

m-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、(2000年广东省中考题)设x1、 x2是方程x2-5x+3=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求(x1-x22的值。

2、(2001年广东省中考题)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0

(1)若方程的一个根为1,求m的值。

(2)m=5时,原方程是否有实数根,如果有,求出它的实数根;如果没有,请说明理由。

3、(2002年广东省中考题)已知关于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大33,求m的值。

4、(2003年广东省中考题)已知x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求pq的值。

 



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