《分解因式》中考热点透视

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《分解因式》一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）. 具体要求有：

1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系.

2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.

3、通过乘法公式：（a + b）（a - b）=a² - b²，（a±b）²= a²±2ab + b²的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力.

在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意.

 

一、构造求值型

例1（2004山西）已知x+y=1，那么 的值为_______.

分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x+y的整体形式. 在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的.

= （x²+2xy+y²）= (x+y)² = 1² = 1 = .

在此过程中，我们先提取公因式 ，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+y的整体形式，最后将x+y=1代入求出最终结果.

例2（2004广西桂林）计算： ___________.

分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即

原式 =

               =

               =

               =

               =

               = ……

               = 2² + 2 = 4+2 = 6.

此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来. 此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题.

设M = ，则-M =

即

.

解得

M = 6.

 

二、探索规律型

例3(2002福建福州)观察下列各式：l²+1=1×2，2²+2=2×3，3²+3＝3×4，……

请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来                             .

分析：根据题意，不难猜想到规律：n²+n=n(n+1).

这个结论就是用提公因式法把n²+n进行了因式分解.

例4（2003青海）请先观察下列算式，再填空：
， ．
（1） 8×       ；
（2） －（   ） ＝8×4；
（3）（   ） －9 ＝8×5；
（4） －（   ） ＝8×       ；……
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：                                  .

分析：类比各式，可以发现：

（1） 8× 3  ；
（2） －（ 7） ＝8×4；
（3）（ 11 ） －9 ＝8×5；
（4） －（ 11 ） ＝8× 7 ；……
通过观察归纳，得到这种规律的一般结论是两个连续奇数的平方差能被8整除（或说是8的倍数）.

如果我们分别用2n+1和2n-1表示两个相邻的奇数，则利用平方差公式，有

(2n+1)² – (2n-1)² = [(2n+1)+(2n-1)] [(2n+1)-(2n-1)] = 4n×2 = 8n.

 

三、开放创新型

例5（2003福建南平）请写出一个三项式，使它能先提公因式，在运用公式来分解.

你编写的三项式是_______________，分解因式的结果是________________.

分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如

2m(m+n)² = 2m(m²+2mn+n²)=2m³+2m²n+2mn²,

3a(2x-5y)²=3a[(2x)²-2×2x×5y+(5y)²]=3a(4x²-20xy+25y²)=12ax²-60axy+75ay²，等等.

于是编写的三项式可以是2m³+2m²n+2mn²，分解因式的结果是2m(m+n)²；

或者编写的三项式可以是12ax²-60axy+75ay²，分解因式的结果是3a(2x-5y)²，等等.

例6（2003四川）多项式9x² + 1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是_________________________(填上一个你认为正确的即可).

分析：根据完全平方公式a²±2ab+b²= (a±b)²的特点，若 表示了a²+b²的话，则有a=3x，b=1，所以，缺少的一项为±2ab=±2（3x）·1=±6x，此时，9x² + 1±6x=(3x±1)²；如果认为9x² + 1表示了2ab+b²的话，则有a=4.5x²，b=1，所以，缺少的一项为a²=（4.5x）²= 20.25x⁴，此时，20.25x⁴+9x² + 1=(4.5x²+1)².

从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式. 注意到9x²=(3x)²，1=1²，所以，保留二项式9x² + 1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是-1或者 - 9x²，此时有9x² + 1-1=9x²=(3x)²，或者9x² + 1-9x²=1².

综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x⁴、-1或者 - 9x².

 

 

四、数形结合型

例7（2002陕西）如图1，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)把余下的部分剪拼成一个矩形(如图2),通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式,则这个等式是(  D   )

  A．a²－b²＝(a十b)(a—b)

  B．(a＋b)²＝a²＋2ab 十b²

  C．(a－b)²＝a²－2ab＋b²

  D．(a十2b)(a－b)＝＝a²＋ab －2b²

分析：图1表示的是a²－b²，图2表示的是(a十b)(a—b)，两者面积相等，所以a²－b²＝(a十b)(a—b).

故选A．

例8（2002年山东省济南市中考题）请你观察图3，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_____________．

图3

分析：图中所表示的整个正方形的面积是x²，两个小正方形的面积分别是y²与（x-y）²，利用这些数据关系，结合图形便可以写出以下公式：

x²-2xy+y²  = (x-y)²，或者x²-y² = (x+y)(x-y).

当然，在没有限定的情况下，也能写成乘法公式.

根据几何图形的特征，研究其中蕴含的数学公式，是“数形结合思想”的具体体现.

例9（2003山西）有若干张如图4所示的正方形和长方形卡片，

图4

表中所列四种方案能拼成边长为 的正方形的是（    ）

          卡片

   数量（张）

方案

（1）

（2）

（3）

A

1

1

2

B

1

1

1

C

1

2

1

D

2

1

1

分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（a+b）².

因为a²+2ab+b²=（a+b）²，对照图4所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a²、b²和ab，它们分别需要1张、1张、2张. 由此可选出正确答案为A.

例10（2003山西太原）如图5是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式             

图5

分析：外框围成的大正方形面积为（a+b）²，4个矩形的面积之和为4ab，中间的空白部分的面积为(a-b)².于是，可以列出等式（a+b）²-4ab = (a-b)².

对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明：

（a+b）²-4ab =a²+2ab+b²-4ab = a²-2ab+b² = (a-b)².

 

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